Question

已知m，n是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數根，求證：以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系求得m+n=-

b

a

，mn=

c

a

；從而推知正方形、長方形的面積；然后根據一元二次方程的根的判別式求得它們的比值即可．

解答：證明：∵m，n是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數根，
∴m+n=-

b

a

，mn=

c

a

，
∴以m+n為邊長的正方形面積S_正方形=（m+n）²=(

b

a

)2 ，a、c同號；
以m、n為邊長的矩形面積S_矩形=mn=

c

a

，
∴S_正方形：S_矩形=b²：ac；
又關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個正實數根，
∴b²-4ac≥0，即b²≥4ac，∴

b2

ac

≥4，
即S_正方形：S_矩形=b²：ac≥4，
∴以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．

點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系．在根據一元二次方程的根的判別式求b²與ac的比值時，要注意需要討論ac的符號．