Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=CE=4

2

，∠C=45°，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB的長(zhǎng)為x．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）當(dāng)x的值為多少時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；
（3）當(dāng)x的值為多少時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）首先分別過(guò)A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，易得四邊形AMND是矩形，由CD=CE=4

2

，∠C=45°，可求得DN的長(zhǎng)，繼而求得梯形ABCD的面積；
（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DEB=90°，那么P與M重合或E與N重合，即可求出此時(shí)的x的值；
（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長(zhǎng)度；②當(dāng)P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖，分別過(guò)A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
則四邊形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

2

，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

2

2

=4=AM，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•DN=

1

2

×（5+12）×4=34；

（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，
若點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，
則∠APC=90°或∠DEB=90°，
當(dāng)∠APC=90°時(shí)，
∴P與M重合，
∴BP=BM=3；
當(dāng)∠DPB=90°時(shí)，P與N重合，
∴BP=BN=8；
故當(dāng)x的值為3或8時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形；

（2）若以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，
有兩種情況：①當(dāng)P在E的左邊，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當(dāng)P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當(dāng)x的值為1或11時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．