Question

如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=4

3

，將矩形紙片沿對角線AC向下翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，連接B D′，如圖2，求線段BD′的長．

Answer 1

分析：先設(shè)AD和BC交于點(diǎn)O，△AD′C和△ADC關(guān)于AC對稱，可得CD=CD′=AB，利用勾股定理，可求AC，那么sin∠ACB=

1

2

，有∠ACB=30°，∠BAC=60°，就有∠BAO=∠D′AC=∠ACB=∠D′CB=30°，根據(jù)圖形可得△ABO≌△CD′O，可得，OB=OD′，所以∠OBD=∠OD′B，而∠AOC=∠BOD′，于是∠OBD′=∠OD′B=30°，就有∠AD′B=∠BAD′=30°，從而可得BD′=AB=4．

解答：解：設(shè)AD′交BC于O，
方法一：
過點(diǎn)B作BE⊥AD′于E，
矩形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABC中，
∵tan∠BAC=

BC

AB

=

4 3

4

=

3

，
∴∠BAC=60°，∴∠DAC=90°-∠BAC=30°，（2分）
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD′=AD=BC=4

3

，∠1=∠DAC=30°，
∴∠4=∠BAC-∠1=30°，
又在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴BE=2，（4分）
∴AE=

AB2-BE2

=2

3

，∴D′E=AD′-AE=2

3

，
∴AE=D′E，即BE垂直平分AD′，∴BD′=AB=4．（5分）

方法二：
矩形ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠DAC，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=

BC

AB

=

4 3

4

=

3

，
∴∠BAC=60°，∴∠ACB=90°-∠BAC=30°，（2分）
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD=AD′=BC，∠1=∠DAC=∠ACB=30°，
∴OA=OC，
∴OD′=OB，∴∠2=∠3，
∵∠BOA=∠1+∠ACB=60°，∠2+∠3=∠BOA，
∴∠2=

1

2

∠BOA=30°，（4分）
∵∠4=∠BAC-∠1=30°，
∴∠2=∠4，
∴BD′=AB=4．（5分）

點(diǎn)評：本題利用了折疊的圖形全等，勾股定理，反三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)．