Question

在平面直角坐標系中，已知點P是反比例函數圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B、C．當四邊形ABCP是菱形時，求出點A、B、C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形OKPA是正方形．當⊙P分別與兩坐標軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結論；
（2）連接PB，設點P（x，），過點P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，利用sin∠PBG=，列方程求x即可．
解答：（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四邊形OKPA是矩形，
又∵OA=OK，
∴四邊形OKPA是正方形；

 （2）解：連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為，
過點P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑），
∴△PBC為等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，
sin∠PBG=，即=．
解得：x=±2（負值舍去），
∴PG=，PA=BC=2，
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3，
∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用以及菱形、圓的性質和正方形的判定等知識，利用數形結合解題得出P點橫坐標是解題關鍵．