Question

【題目】已知，如圖，直線(xiàn)y=x4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線(xiàn)繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，且tanα=，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A-P-C的 運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng)，試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時(shí)間t.

Answer 1

【答案】（1）A(0，4)，B（8，0），C(18，0) ；

（2）作圖見(jiàn)解析，t=

【解析】試題分析：（1）過(guò)B作BD⊥AB交AC于D，過(guò)D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED，得到==，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，求出AC的解析式即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．

（2）過(guò)點(diǎn)（0，4）作AC的垂線(xiàn)垂足為Q，該垂線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以AP=FP，首先證明t=，由此推出點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A-P-C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，求出FQ的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

試題解析：(1)∵直線(xiàn)y=x4與x軸，y軸分別交于B、A，

∴A(0，4)，B(8，0)，

過(guò)B作BD⊥AB交AC于D，過(guò)D作DE⊥x軸于E，

則△AOB∽△BED

∴==，

∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα==，

∴BE=1，DE=2

∴D(9，2)

∴直線(xiàn)AC解析式為y=x4

∴C(18，0).

(2)過(guò)點(diǎn)(0，4)作AC的垂線(xiàn)垂足為Q，該垂線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。

設(shè)點(diǎn)F(0，4)，則A.F關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以AP=FP，

S△ACF=AFOC=ACFQ，AF=8，OC=18，AC= ==，

∴FQ=，

∵△CQP∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴t= =，

∵FQ是垂線(xiàn)段，

∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著APC的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，

∴t=