Question

求證：過圓內接四邊形各邊的中點向對邊所作的4條垂線交于一點．

Answer 1

分析：此題首先過圓內接四邊形兩邊的中點向對邊引垂線，產生交點，然后再進一步證明過另外兩邊的中點和交點的直線垂直于對邊即可．根據三角形的中位線定理、垂徑定理、平行四邊形的判定和性質即可證明．

解答：
證明：圓內接四邊形ABCD，O為圓心，LR、EF為符合題意的線段，相交于K，連接LO、FO．
設M、G分別為AD、BC的中點，連接LM、MF、FG、GL，連接MK、KG、GO、OM．
∵L、F分別為AB、DC的中點，
∴LO⊥AB、OF⊥DC，
同時EF⊥AB，LR⊥DC，
∴LO∥EF，OF∥LR，
∴LOFK為平行四邊形，
∴LO=KF．
連接AC、BD．根據中位線定理和平行四邊形的判定，易證明四邊形LGFM為平行四邊形．
則LG=MF，
又LG∥MF，LO∥KF，
∴∠GLO=∠MFK，
∴△LGO≌△MFK，
∴OG=MK，
同理KG=OM．
故OGKM為平行四邊形．
∴MO∥KG，MK∥OG．
綜上，LR、EF、MQ、GP同為符合題意的線段．
所以過圓內接四邊形各邊的中點向對邊所作的4條垂線交于一點．

點評：此題綜合考查了垂徑定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質．