Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接DE、OD，
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連接OC交DE于F，若OF=FC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠CDB=90°，推出DE=BE，得到∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，推出∠ODE=90°即可；
（2）連接OE，證正方形DEBO，推出OB=BE，推出∠EOB=45°，根據平行線的性質推出∠A=45°即可；
（3）設AD=x，CD=2x，證△CDB∽△CBA，得到比例式，代入求出AB即可．
解答：解：如右圖所示，連接BD，
（1）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中點，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中點，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線．

（2）答：△ABC的形狀是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分別是BC、OC的中點，
∴EF是三角形OBC的中位線，
∴EF∥AB，
DE⊥BC，
OB=OD，四邊形OBED是正方形，
連接OE，
OE是△ABC的中位線，OE∥AC，
∠A=∠EOB=45度，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．

（3）設AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90°，∠C=∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴=，
∴=，
x=2，
AC=6，
由勾股定理得：AB==6，
∴圓的半徑是3．
答：⊙O的半徑是3．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質和判定，切線的判定，相似三角形的性質和判定，平行線的性質，等腰直角三角形，三角形的內角和定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，正方形的性質和判定的連接和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．