Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點D在直線AB上，點D的縱坐標為6，點C在x軸上且位于原點右側，連接CD，且．

如圖1，求直線CD的解析式；

如圖2，點P在線段AB上點P不與點A，B重合，過點P作軸，交CD于點Q，點E是PQ的中點，設P點的橫坐標為t，EQ的長為d，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

如圖3，在的條件下，以CQ為斜邊作等腰直角，且點M在直線CD的右側，連接OE，OM，當時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）A、D兩點在直線y=2x+4上，可依條件建立方程求得坐標，再根據等腰三角形性質求得點C坐標，應用待定系數法求直線CD解析式；

（2）點P在線段AB上，可得P（t，2t+4），根據PQ∥x軸，可得P與Q縱坐標相等，求得Q（-t+2，2t+4），根據E為PQ中點，可得d=EQ=12PQ=-t+1；

（3）過M作SR⊥x軸于R，交PQ延長線于S，利用等腰三角形兩腰相等構造全等三角形，在TQ上截取TF=OT，構造等腰Rt△TOF，應用相似三角形判定和性質，建立方程求解．

（1）如圖1，

直線y=2x+4經過點A，D，

當y=0時，x=-2，

∴A（-2，0），

當y=6時，x=1，

∴D（1，6），

過點D作DL⊥x軸于點L，

∴L（1，0），

∴AL=3，

∵AD=CD，

∴AL=CL=3，

∴OC=1+3=4，

∴C（4，0），

設直線CD的解析式為y=kx+b，將C（4，0），D（1，6）代入得

，

解得k=-2，b=8，

∴直線CD的解析式為y=-2x+8；

（2）如圖2，過點P，Q分別作PF⊥x軸于點F，QG⊥x軸于點G，PQ交y軸于點T，

∵點P在直線y=2x+4上且點P的橫坐標為t，

∴點P的坐標為（t，2t+4），

∵PQ∥z軸，

∴∠OTQ=∠AOT=90°，

∴PQ⊥y軸，

∴OT=2t+4，

∴點Q的縱坐標為2t+4，

點Q在直線y=-2x+8上，當y=2t+4時，2t+4=-2x+8，解得x=-2t+2，

∴點Q的坐標為（-t+2，2t+4），

∵∠PFC=∠QGC=90°

∴PF∥QG

又∵PQ∥FG

∴四邊形PFGQ為平行四邊形

∴PQ=FG=（-t+2）-t=-2t+2

∵E為PQ的中點

∴EP=EQ=PQ=（-2t+2）=-t+1

∴d=-t+1 （-1<t<0）；

（3）如圖3，過點M作x軸的垂線，垂足為R，交PQ的延長線于點S，

∵∠CMQ=90°，CM=MQ

∴∠QCM=45°

在△OCM中，∠COM+∠OMC+∠OCM=180°

∴（90°-∠BCE-∠ECM）+（90°-∠OMQ）+（∠ACD+45°）=180°

又∵∠BOE+∠OMQ=∠ACD

∴∠EOM=45°

令CR=m，

∵∠OTS=∠TOR=∠ORS=90°

∴四邊形ORST是矩形

∴RS=OT=2t+4，TS=OR=m+4

∴QS=m+4-（-t+2）=m+t+2

∵CM=QM，∠CRM=∠MSQ=90°，∠MCR=90°-∠CMR=∠QMS

∴△QMS≌△MCR

∴MS=CR=m，MR=QS=m+t+2

∵MS+MR=RS

∴m+m+t+2=2t+4

∴m=t+1

∴MR=t+3，OR=t+5

在TQ上截取TF=OT=2t+4，連接OF，過點E作EH⊥OF于點H，

則∠COF=∠TFO=45°，OF=OT=（2t+4），EF=FT-ET=2t+4-（-t+1+t）=2t+3，EH=FH=EF=（2t+3），

∴OH=OF-FH=（2t+4）-（2t+3）=（2t+5），

∵∠MOR=45°-∠FOM=∠EOH

∴tan∠MOR=tan∠EOH

在Rt△MOR中，tan∠MOR=，在Rt△OEH中，tan∠EOH=，

∴

∴MROH=OREH

∴

解得（舍去）

∴

過點M作MK⊥y軸于點K，可證四邊形ORMK是矩形

∴

∴點M的坐標為．