Question

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切與點D，與AB相交于點E。

（1）試判斷AD是否平分∠BAC?并說明理由；

（2）若BD=3BE,CD=3,求?O的半徑。

Answer 1

解：（1）判斷：AD平分∠BAC,

證法一：連接OD.

∵BC切⊙O與D,∴OD⊥BC,又△ABC為Rt△，且∠C=90°.

∴AC⊥BC    ∴OD∥AC  ∴∠1=∠2   ∴∠1=∠3.

證法二，連接ED.

∴AE是⊙O直徑，∴∠ADF=90°,∴∠3+∠AED=90°.又∠C=90°

∴∠1+∠ADC=90°.又∠AED=∠ADC   ∴∠1=∠3.

證法三，連接EF,DF.

∵AE是⊙0直徑，∴∠AFE=90°,又ACE=90°,∴∠AFE=∠ACB,∴EF∥BC,

∴∠4=∠5.又∠3=∠4，∠1=∠5，∴∠1=∠3

（2）       解法：設BE-x,則BD=3BE=3x.據切割線定理得 BD²=BE?BA.得AB-9x，　OA=OE-4x.又OD∥AC,∴∴∴∴⊙O的半徑為5.

解法二：如圖2，過O作OG⊥AC,又AC⊥BC,OD⊥BC,則四邊形ODCG為矩形。

∴OG=CD=3,OG∥BC,又OG∥BC，∴ ∴∴，x=0（舍去）∴⊙O的半徑為5.

備注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基礎上進行的。

解法三：如圖（1）∠3=∠BDE,∠EBD=∠DBA,∴,又BD=3BE,∴.

又DC=3,則AC=9,在Rt△ADC中，AD=，在Rt△  AED中，AE=∴⊙O的半徑的長為.