Question

如圖，正方形ABCD的邊長是4，M是AD的中點．動點E在線段AB上運動．連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG．
（1）求證：△GEF是等腰三角形；
（2）設AE=x時，△EGF的面積為y．求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在點E運動過程中△GEF是否可以成為等邊三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABCD是正方形，正方形的四個邊相等且對邊平行，四個角都是直角，很容易證明△AME≌△DMF，從而可得出結論．
（2）設AE=x時，△EGF的面積為y，有兩種情況，當點E與點A重合時，即x=0時，可求出y的值，當點E不與點A重合時，0＜x≤4，根據條件可證明Rt△AEM∽Rt△NGM，根據相似三角形的對應邊成比例，可得出函數式．
（3）不可能，因為EF=MG，EG＞MG所以EG＞EF，所以不可能是等邊三角形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵

∠AME=∠FMD AM=DM ∠A=∠MDF

∴△AME≌△DMF（1分）
∴EM=FM（1分）
又∵GM⊥EF，∴EG=FG（1分）

（2）解：當點E與點A重合時，如右圖所示，x=0，y=

1

2

AD×MG=

1

2

×4×4=8（1分）
當點E不與點A重合時，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=

x2+4

∴EF=2ME=2

x2+4

（1分）
過M作MN⊥BC，垂足為N
則∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM（1分）
∴

AM

MN

=

ME

MG

即

ME

MG

=

1

2

∴MG=2ME=2

x2+4

（1分）
∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+4

×2

x2+4

=2x²+8（2分）
∴y=2x²+8其中0＜x≤4（1分）

（3）解：不可能（1分）
∵EF=MG=2

x2+4

（1分）
在Rt△MEG中EG＞MG
∴EG＞EF（1分）
∴△EFG不可能是等邊三角形

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質定理，相似三角形的判定和性質定理，以及全等三角形的判定正方形的性質等．