Question

如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．
（1）求證：CT為⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OT，根據角平分線的性質，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；
（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
解答：（1）證明：連接OT，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，（3分）
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT為⊙O的切線；（5分）

（2）解：過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四邊形OTCE為矩形，（7分）
∵CT=，
∴OE=，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，，
∴AD=2AE=2．（10分）
點評：本題主要考查了切線的判定以及性質，證明切線時可以利用切線的判定定理把問題轉化為證明垂直的問題．