Question

如圖，△ABC中，點E是AB，BC的垂直平分線的交點，AE的延長線交BC于點D，AB=AD，AE=BD．
①求證：AB=BC；
②求∠DAC的度數．

Answer 1

分析：（1）連接CE，由線段垂直平分線的性質可得出AE=BE=CE，由等邊對等角可知∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA，再根據AE=BD，可知BE=BD，由等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得∠BAC=∠BCA，進而得出結論；
（2）設∠BAD=x，由AE=BE可知∠AEE=x，根據∠BED是△ABE的外角，可知∠BED=2x，由三角形內角和定理可求出x的度數，再根據等腰三角形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）連接CE
∵點E是AB，BC的垂直平分線的交點，
∴AE=BE=CE，
∴∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠BED=∠BDE
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠BED=∠ABD
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∠ABD=∠ABE+∠DBE，
∴∠EAB=∠EBD
又∵∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，
∴∠EAB=∠ECB，
∴∠EAC+∠EAB=∠ECB+∠ECA，即∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；

（2）設∠BAD=x，
∵AE=BE，
∴∠AEE=x，
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=2x，
∵BE=BD，
∴∠ADB=∠BED=2x，
∵AB=AD，
∴∠ABD=2x，
∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠ABD=72°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=

180°-∠ABD

2

=

180°-72°

2

=54°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質及三角形外角的性質，在解答此類題目時往往用到三角形的內角和是180°這一隱藏條件．