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如圖，已知在等邊三角形ABC中，點D、E分別是AB、BC延長線上的點，且BD=CE。求證：DC=AE。

證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
BC= CA，
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°，
在△DBC與△ECA中，
DB=EC，∠DBC=∠ECA，BC=CA，
∴△DBC≌△ECA( SAS)，
∴DC =AE。

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（1）求點B的坐標；

（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與Q重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

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如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角線APQ．當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B．
（1）求點B的坐標；
（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，∠ABQ為定值；

（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．