Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=3，動點M從D點出發，以1個單位/秒的速度沿DA向終點A運動，同時動點N從A點出發，以2個單位/秒的速度沿AB向終點B運動、當其中一點到達終點時，運動結束、過點N作NP⊥AB，交AC于點P連接MP、已知動點運動了x秒．
（1）請直接寫出PN的長；（用含x的代數式表示）
（2）試求△MPA的面積S與時間x秒的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在這個運動過程中，△MPA能否為一個等腰三角形？若能，求出所有x的對應值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵NP⊥AB，四邊形ABCD為矩形，∴PN∥CB可得

AN

AB

=

PN

BC

；由AB=4，AD=3，可知BC=AD=3；動點動了x秒，可知AN=2x；于是

2x

4

=

PN

3

，即PN可求．
（2）△MPA的面積S=

1

2

AM•AN，AM=AD-DM=3-x，∴S=

1

2

•（3-x）•2x，動點M由點D到達點A用時間為3秒，動點N由A到B用時間為2秒；N先到達終點，其中一點到達終點時，運動結束，即0＜x≤2．整理S=-(x-

3

2

)2+

9

4

，可求S的最大值．
（3）假設△MPA為一個等腰三角形，則會有PM=PA或MP=AM或AP=AM．
過點P作PQ⊥AD交AD于點Q
①當PM=PA時，據PQ⊥AD，得MQ=QA=PN=

3

2

x，又DM+MQ+QA=AD，所以4x=3，即x可求．
②當MP=AM時，由題意：MQ=AD-AQ-DM=3-

5

2

x，PQ=2x，MP=MA=3-x，在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²，x可求．
③當AP=AM時，由PN∥BC，得

AP

AC

=

AN

AB

，于是AP=

5

2

x，又AM=3-x，則

5

2

x=3-x，即x可求．綜合可知△MPA能為一個等腰三角形．

解答：解：（1）PN=

3x

2

．

（2）過點P作PQ⊥AD交AD于點Q，
可知PQ=AN=2x
依題意，可得AM=3-x
∴S=

1

2

•AM•PQ=

1

2

•（3-x）•2x=-x²+3x
亦即S=-(x-

3

2

)2+

9

4

自變量x的取值范圍是：0＜x≤2
∴當x=

3

2

時，S有最大值，S最大值=

9

4

（3）△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況：
①當PM=PA時，
∵PQ⊥AD，
∴MQ=AQ=PN=

3

2

x，
又∵DM+MQ+QA=AD，
∴4x=3，即x=

3

4

；
②當MP=AM時，由題意：
MQ=AD-AQ-DM=3-

5

2

x，PQ=2x，MP=MA=3-x
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²，
∴（3-x）²=（3-

5

2

x）²+（2x）²
解之得：x=

36

37

，x=0（不合題意，舍去）
③當AP=AM時，
∵PN∥BC，
∴

AP

AC

=

AN

AB

，
∴AP=

5

2

x，
∵AM=3-x
∴

5

2

x=3-x，
解之得：x=

6

7

．
綜上所述，當x=

3

4

，或x=

36

37

，或x=

6

7

時，△MPA是等腰三角形．

點評：此題為綜合應用類型的題目，有難度，但能考查綜合知識點運用的能力．