Question

如圖，△ACB內接于⊙O，D為弧BC的中點，ED切⊙O于D，與AB的延長線相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=（ ）

A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：設AD與BC交于點F，由切線長定理知DE²=BE•AE=BE（BE+AB）=BE²+BE•AB，可求得DE=2BE．利用DE²=BE²+BE•AB求得，BE=2，DE=4，連接BD，由弦切角的性質知，∠EDB=∠EAD，得到BF：DE=AB：AE作為相等關系可求出BF=3，根據AD是∠BAC的平分線，由角的平分線定理得，AB：BF=AC：CF，由相交弦定理得，BF•CF=AF•DF=3，所以可求出DF=1，AF=3，從而求得AD的值．
解答：解：設AD與BC交于點F
∵ED+EB=6
∴DE²=BE•AE=BE（BE+AB）=BE²+BE•AB
∴（DE+BE）（DE-BE）=BE•AB
即6×（DE-BE）=BE×6
∴DE=2BE
∵DE²=BE²+BE•AB
∴BE=2，DE=4
連接BD，則∠EDB=∠EAD
∵D為弧BC的中點
∴∠DAC=∠BAD
∴∠CBD=∠BDE
∴BC∥DE
∴BF：DE=AB：AE
∴BF=3
∵AD是∠BAC的平分線
∴AB：BF=AC：CF
∴CF=1
∴BC=BF+CF=4
∴BF•CF=AF•DF=3
∵BF：ED=AF：AD=AF：（AF+DF）
∴DF=1，AF=3
∴AD=AF+DF=4．
點評：本題利用了切線長定理，弦切角的性質，圓周角定理，角的平分線定理，相交弦定理，平行線的判定和性質求解，綜合性比較強．