Question

如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）點P（m，m）與點Q均在該函數圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標．[拋物線的頂點坐標：(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)]．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9），將A和B的坐標代入二次函數解析式中，得到關于a與c的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與c的值，即可確定出二次函數的解析式；
（2）由P在二次函數圖象上，將x=m，y=m代入二次函數解析式中，得到關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出P的坐標，然后求出二次函數的對稱軸，根據對稱性即可得到Q的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9），
∴將A和B兩點代入二次函數解析式得：

a+4+c=-1① 9a-12+c=-9②

，
②-①得：8a-16=-8，解得：a=1，
將a=1代入①得：1+4+c=-1，解得：c=-6，
則二次函數解析式為y=x²-4x-6；

（2）∵P（m，m）拋物線圖象上，
∴將x=m，y=m代入拋物線解析式得：m=m²-4m-6，
解得：m₁=6，m₂=-1（m＞0，故舍去），
則m=6，
∴P的坐標為（6，6），
又拋物線的對稱軸為x=2，Q與P關于x=2對稱，
則Q的坐標為（-2，6）．

點評：此題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．