Question

（2012•河北區三模）用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架（如圖①②③中的一種）（題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行，材料本身面積忽略不計），設豎檔AB=x米，請根據以上圖案回答下列問題：

（Ⅰ）在圖①中，不銹鋼材料總長度為12米，則AD表達式為

4-x

，若矩形框架ABCD的面積為3平方米，則可列方程為

x（4-x）=3

．
（Ⅱ）在圖②中，不銹鋼材料總長度為12米，則AD表達式為

4-

4

3

x

，若矩形框架ABCD的面積為S，請寫出S與x的函數關系式

S=4x-

4

3

x²

．
（Ⅲ）在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，寫出矩形框架ABCD的面積S與x的函數關系式

a-nx

3

x

；當x為

a

2n

時，S有最大面積等于

a2

12n

．

Answer 1

分析：（I）由題意可得3AD+3AB=12，從而可得出AD的表達式；根據矩形的面積=長×寬，可得出方程；
（II）由題意可得3AD+4AB=12，從而可得出AD的表達式；根據矩形的面積=長×寬，可得出S與x的函數關系式；
（III）由題意可得3AD+nAB=a，從而可得出AD的表達式，根據矩形的面積=長×寬，可得出S與x的函數關系式，利用配方法可求出S的最大值．

解答：解：（I）AD=

12-3x

3

=4-x，則若矩形框架ABCD的面積為3平方米，則可列方程為：x（4-x）=3；

（II）AD=

12-4x

3

=4-

4

3

x，
S=x×（4-

4

3

x）=4x-

4

3

x²；

（III）AD=

a-nx

3

，
S=AD×AB=

a-nx

3

x=-

n

3

x²+

a

3

x=-

n

3

（x-

a

2n

）²+

a2

12n

，
當x=

a

2n

時，S有最大值，最大面積為

a2

12n

．
故答案為：4-x、x（4-x）=3；4-

4

3

x、S=4x-

4

3

x²；

a-nx

3

x、

a

2n

、

a2

12n

．

點評：本題考查了二次函數的應用，解答本題的關鍵是得出AD的表達式，根據矩形的面記公式得出函數解析式，注意掌握配方法求最值得應用．