Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=10，BC=20，正方形DEFG頂點G，F分別在AC，BC邊上，D，E在邊AB上，且JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，則四邊形HIJK的面積為

 

．

Answer 1

分析：可證出△ABC∽△FBE∽△DJE，則

EF

BE

=

DJ

EJ

=

1

2

，設正方形DEFG的邊長為x，則BF=

5

x，再根據△CGF∽△CAB，則

GF

AB

=

CF

BC

，從而求出x的值，根據相似，得I、J、K、H分別為EJ、DK、GH、FI的中點，即可求得四邊形HIJK的邊長，從而得出面積．

解答：解：∵∠C=90°，AC=10，BC=20，
∴AB=10

5

，
∵JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，
∴△ABC∽△FBE∽△DEJ，
∴AC：BC=EF：BE=DJ：JE=1：2，
設正方形DEFG的邊長為x，則BF=

5

x，
∴CF=20-

5

x，
∵△CGF∽△CAB，則

GF

AB

=

CF

BC

，
∴

x

10 5

=

20- 5 x

20

，
∴x=

20 5

7

，
∵

DJ

EJ

=

1

2

，
∴EJ=2DJ，
∴IJ=

1

2

EJ，
∵DE=

20 5

7

，
∴IJ=

20

7

，
∴S_{四邊形HIJK}=

400

49

．
故答案為：

400

49

．

點評：本題是一道綜合性的題目，考查了相似三角形的判定和性質以及正方形的性質，是中考壓軸題，難度較大．