Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，，交軸于點，且拋物線的對稱軸經過點，過點的直線交拋物線于另一點，點是該拋物線上一點，連接，，，．

（1）求直線及拋物線的函數表達式；

（2）試問：軸上是否存在某一點，使得以點，，為頂點的與相似？若相似，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點是直線上方的拋物線上一動點（不與點，重合），過作交直線于點，以為直徑作，則在直線上所截得的線段長度的最大值等于_______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1） ；（2）相似，或；（3）

【解析】

(1)由二次函數的對稱性及B點坐標先求出點A的坐標，代入中求出AD的解析式即可，再將A、B點坐標代入二次函數解析式中，結合對稱軸聯立方程組求出二次函數解析式.

(2)先計算出 ，此時AD∥BE，再分情況討論P點在B點左側和P點在B點右側時的情形.

(3) 設在直線上所截得的線段為NK，過K點作KI⊥x軸于I點，NJ⊥x軸于J點，PK⊥NJ于P點，設M點的坐標為()，將N，K坐標分別用m的代數式表示，最后利用即可求解.

（1）由題可知，對稱軸：，點

則點

得

直線

由題可得

解得，，

拋物線的函數關系式

（2）點在拋物線上

即

易求得直線

由題可得：

直線交拋物線于點，

可知，

則：

，，，

，，

設

①若點在點左側時

（i）當時

則

即：

即：點

（ii）當時

則

即：

即：點

②若點在點右側時

，

又

此時，與不相似

（3）在直線上所截得的線段長度的最大值等于，如下圖所示：

設在直線上所截得的線段為NK，過K點作KI⊥x軸于I點，NJ⊥x軸于J點，PK⊥NJ于P點，

設M點坐標為()

∵BE⊥MN，∴，且

∴

∴直線MN的解析式為：，與直線BC聯立方程組：

解得N點坐標為

∵MN是圓O的直徑，∴∠MKN=90°

∴MK⊥BC，即，且

∴直線MK的解析式為：，與直線BC聯立方程組：

解得K點坐標為

由圖像可知，

∴

∴當時，最大值等于.

故答案為：.