Question

如圖等邊三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的兩點，AD、AE把△ABC分割成周長相等的三個三角形，則CD=

-3+3 33

16

．

Answer 1

分析：過點A作AF⊥BC于F，根據等邊三角形的性質求出AF、CF，設CD=x，表示出DF，然后利用勾股定理列式求出AD，再判斷出EF=DF，AE=AD，然后根據△ACD和△ADE的周長相等列出方程，整理后解關于x的一元二次方程即可得解．

解答：解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，
∵AB=3，
∴AF=3×

3

2

=

3 3

2

，CF=

1

2

×3=

3

2

，
設CD=x，則DF=

3

2

-x，
在Rt△ADF中，AD=

DF2+AF2

=

( 3 2 -x)2+( 3 3 2 )2

=

x2-3x+9

，
∵△ABC分割成的三個三角形周長相等，
∴EF=DF，AE=AD，
∴AC+AD+CD=AD+DE+AE，
即3+

x2-3x+9

+x=

x2-3x+9

+2（

3

2

-x）+

x2-3x+9

，
∴

x2-3x+9

=3x，
整理得，8x²+3x-9=0，
解得x₁=

-3+3 33

16

，x₂=

-3-3 33

16

（舍去），
所以，CD的長是

-3+3 33

16

．
故答案為：

-3+3 33

16

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理的應用，作輔助線構造出直角三角形并根據等邊三角形的對稱性和三角形的周長相等列出方程是解題的關鍵．