Question

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠A=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據∠A=30°及等腰三角形的性質可求出OC⊥CD，繼而可判斷CD是⊙O的切線；
（2）根據S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC，進行計算即可．

解答：解：（1）連接OC，

則OC=OA，
∵∠A=30°，CA=CD，
∴∠D=30°，∠ACO=30°，
∴∠ACD=180°-2∠A=120°，
∴∠OCD=120°-∠ACO=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）∵OC=3，∠D=30°，
∴CD=3

3

，∠COD=60°，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC=

9 3

2

-

60π×32

360

=

9 3 -3π

2

．

點評：本題考查了切線的判定、含30°角的直角三角形的性質，在求解不規則圖形的面積時，注意轉變思想的運用．