Question

已知x和y是正整數，并且滿足條件xy+x+y=71，x²y+xy²=880，求x²+y²的值．

Answer 1

解：∵xy+x+y=71，x²y+xy²=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的兩個解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此時不能滿足x、y是正整數，舍去）或x+y=16、xy=55，
當x+y=16、xy=55時，x²+y²=（x+y）²-2xy=16²-2×55=146．
故x²+y²的值為146．
分析：將xy+x+y=71，x²y+xy²=880稍作變化，變?yōu)閤y+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此時x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的兩個解．解出該方程的解即為x+y，xy的值．再將x+y，xy代入x²+y²=（x+y）²-2xy求值即可．
點評：本題考查因式分解的應用、一元二次方程，難度較大，解決本題的關鍵是將x+y、xy可以看做一元二次方程t²-71t+880=0的兩個解，解出t即可知x+y、xy的值．