Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3．取BO的中點D，連接CD、MD和OC．
（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使S_△QAM=S_△PDM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，就有∠ACO=90°，D為OB的中點，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結論；
（2）根據條件可以得出△ACO∽△AOB而求出，從而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根據D是OB的中點就可以求出D的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式，求出對稱軸，根據軸對稱的性質連接AD交對稱軸于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐標；
（3）根據S_△PDM=S_△ADM-S_△APM而求出其值就可以表示出S_△QAM的大小，設Q的坐標為m，根據三角形的面積公式就可以求出橫坐標而得出結論．
解答：（1）證明：連接CM，
∵AO是直徑，M是圓心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D為OB的中點，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切線；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴，
∴，
∴AB=．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=，
∵D為OB的中點，
∴OD=OB=，
∴D（0，）．
∵OM=AM=OA=，
∴M（，0）．設拋物線的解析式為y=a（x-）（x-5），由題意，得
=a（0-）（0-5），
解得：a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x-）（x-5），
=（x-）²-．
連接AD交對稱軸于P，設直線AD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線AD的解析式為：y=-x+，
當x=時，
y=，
∴P（，）；

（3）解：存在．
∵S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
∴S_△PDM=××-××，
=，
∴S_△QAM==．
設Q的坐標為m，由題意，得
，
∴|m|=，
∴m=±，
當m=時，
=（x-）²-．
x₁=，x₂=，
當m=-時，
-=（x-）²-．
x=．
∴Q（，），（，），（，-）．
點評：本題考查圓周角定理的運用，勾股定理的運用，圓的切線的判定定理的運用，待定系數法求函數的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用，三角形的面積公式的運用，軸對稱性質的運用，解答時求出拋物線的解析式是解答本題的關鍵．