Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為______度；
（2）繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；
（3）在上述直角三角板從圖1旋轉到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

解：（1）由旋轉的性質知，旋轉角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）如圖3，∠AOM-∠NOC=30°．
設∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得
∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
∴∠AON+∠NOC=60°．①
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°．②
由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°；

（3）（ⅰ）如圖4，當直角邊ON在∠AOC外部時，
由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．
因此三角板繞點O逆時針旋轉60°．
此時三角板的運動時間為：
t=60°÷15°=4（秒）．
（ⅱ）如圖5，當直角邊ON在∠AOC內部時，
由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．
因此三角板繞點O逆時針旋轉240°．
此時三角板的運動時間為：
t=240°÷15°=16（秒）．
分析：（1）根據旋轉的性質知，旋轉角是∠MON；
（2）如圖3，利用平角的定義，結合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質、圖中角與角間的數量關系推知∠AOM-∠NOC=30°；
（3）需要分類討論：（ⅰ）當直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉角是60°；（ⅱ）當直角邊ON在∠AOC內部時，旋轉角是240°．
點評：本題綜合考查了旋轉的性質，角的計算．解答（3）題時，需要分類討論，以防漏解．