Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝AD.

求證：(1) AB＝BC＝CD＝DA

(2) AC⊥DB

(3) ∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可解答；（2）利用SSS證明△ADO≌△CDO，可得：∠AOD＝∠COD，又因為∠AOD＋∠COD＝180°，所以∠AOD＝∠COD＝90°即可得出AC⊥DB；（3）由△ADO≌△CDO，再根據全等三角形對應角相等，兩直線平行，內錯角相等即可解答.

證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝CB.

又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝DA.

(2)在△ADO和△CDO中，

∵DA＝DC，DO＝DO，AO＝CO，∴△ADO≌△CDO. ∴∠AOD＝∠COD.

∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠AOD＝∠COD＝90°. ∴AC⊥DB.

(3) ∵△ADO≌△CDO， ∴∠ADB＝∠CDB，∠DAC＝∠DCA.

∵AB∥CD，AD∥CB，

∴∠ADB＝∠CBD，∠CDB＝∠ABD，∠DAC＝∠BCA，∠DCA＝∠BAC.

∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA.