Question

如圖，直角坐標系中點B的坐標為（，0），點A在第一象限內，且∠AOB=60°，∠ABO=45°。

（1）求點A的坐標及線段OA的長；
（2）質點P從O出發，以每秒2個單位長的速度沿OA運動到A，若△POB的面積記為S，試寫出S與時間t的函數關系式；
（3）根據（2），當t取何值時，△POB的外心在x軸上？

Answer 1

解：（1）過A點作AC⊥OB，C為垂足
∵AC⊥OB，∠AOB=60°，∠ABO=45°
∴∠OAC=30°，∠BAC=45°
∴∠ABO=∠BAC，AO=2DC
∴AC=BC
設AC=BC=m
∴OC=
∴AO=
∴
∴
∴OC=，OA=
∴A點坐標為（，0）
OA=8；
（2）過P作PD⊥OB，D為垂足
∵OP=2t
∴OD= t
∴
∴S=
∴S=t（（0≤t≤）；
（3）△POB的外心在x軸，即在OB上，設圓心為Q
∴QO=QP=QB
∴△POB為Rt△ Q是OB的中點
∴BP⊥OA
∵∠AOB=60°
∴∠OBP=30°
∴OP=
∴
∴
∴當秒時，△POB的外心在x軸上。