Question

作圖探究：如圖，點P是直角坐標系xOy第三象限內一點．
（1）尺規作圖：請在圖中作出經過O、P兩點且圓心在x軸的⊙M；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若點P的坐標為（-4，-2）．
①請求出⊙M的半徑；
②填空：若Q是⊙M上的點，且∠PMQ=90°，則點Q的坐標為______．

Answer 1

解：（1）⊙M如圖所示；

（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設⊙O的半徑為r，則PM=MO=r，MH=4-r，PH=2，
在Rt△PHM中，PH²+MH²=PM²，
即2²+（4-r）²=r²，
解得r=；
②如圖，過M點作PM的垂線，交⊙M于Q₁，Q₂，再過Q₁，Q₂，作x軸的垂線，垂足為N₁，N₂，
利用互余關系，PM=Q₁M=Q₂M，
可證Rt△PMH≌Rt△Q₁MN₁≌Rt△Q₂MN₂，
∴PH=MN₁=MN₂=2，MH=Q₁N₁=Q₂N₂=4-r=，
∴Q（-，）或（-，-）．
故答案為：（-，）或（-，-）．
分析：（1）連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于M點，以MO我半徑作⊙M，即為所求；
（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設⊙O的半徑為r，則PM=MO=r，MH=4-r，PH=2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；
②過M點作PM的垂線，交⊙M于Q₁，Q₂，再過Q₁，Q₂，作x軸的垂線，利用三角形全等求Q點坐標．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，尺規作圖的知識．關鍵是將問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理，全等三角形解題．