Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，P、Q分別從點D、C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系；
（2）當t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）若過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=

1

2

PM×QB=96-6t；
（2）本題應分三種情況進行討論，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ²=PM²+MQ²，PQ=QB，將各數據代入，可將時間t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB²=BM²+PM²，BP=BQ，將數據代入，可將時間t求出；
③若PB=PQ，PB²=PM²+BM²，PB=PQ，將數據代入，可將時間t求出．

解答：解：（1）過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形．

∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴s=

1

2

•QB•PM=

1

2

（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．

（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，解得t=

7

2

；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB²=（16-2t）²+12²，由PB²=BQ²得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
此時，△=（-32）²-4×3×144=-704＜0，
所以此方程無解，∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²得t1=

16

3

，t₂=16（不合題意，舍去）．
綜上所述，當t=

7

2

s或t=

16

3

s時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．

點評：本題主要考查梯形的性質及勾股定理．在解題（2）時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現漏解現象．