Question

⊙O與⊙O₁相交于A、B，R、r分別為⊙O與⊙O₁的半徑，且R＞r．
（1）C在⊙O₁上，且是⊙O₁與⊙O相交所得劣弧的中點，過C作⊙O₁的切線交⊙O于E、F，求證：O₁E•O₁F為定值；
（2）如果按前面的條件不變，而是過劣弧ACB上任一點G作⊙O₁的切線與⊙O相交（A、B、C三點除外），（1）中的結(jié)論仍成立嗎？請畫出圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）過O₁作⊙O直徑O₁D交⊙O₁于C′，連接DE、O₁A、O₁B、OA、OB，可以證明Rt△O₁CE∽Rt△O₁ED，然后根據(jù)垂徑定理即可求證；
（2）作⊙O的直徑O₁D，連接DE、O₁G，可以證明Rt△O₁DE∽Rt△O₁FG即可求證．

解答：
（1）證明：如圖（1）過O₁作⊙O直徑O₁D交⊙O₁于C′，連接DE、O₁A、O₁B、OA、OB，
∵OA=OB，O₁A=O₁B，OO₁為公共邊，
∴△AOO₁≌△BOO₁，
∴∠AO₁C′=∠BO₁C′，
∴弧AC′=弧BC′，
∴C′是弧AB中點，
又∵C是AB中點，
∴C與C′重合，
∵EF是⊙O₁的切線，
∴∠O₁ED=∠O₁CE=90°，
∴△O₁CE∽△O₁ED，
∴Rt△O₁CE∽Rt△O₁ED，
∴

O1D

O1C

=

O1D

O1E

，即O₁E₂=O₁C•O₁D=2Rr（5分）
由垂徑定理知O₁E=O₁F
∴O₁E•O₁F=2Rr，即O₁E•O₁F為定值．（6分）

（2）（1）中的結(jié)論仍成立．（7分）
證明：如圖（2），作⊙O的直徑O₁D，連接DE、O₁G，（8分）
則∠D=∠F，EF是⊙O₁的切線，
∴∠O₁ED=∠O₁GF=90°，
∴Rt△O₁DE∽Rt△O₁FG，（ 9分）
∴

O1F

O1D

=

O1G

O1E

，
∴O₁E•O₁F=O₁D•O₁G=2Rr，
即O₁E•O₁F為定值．（10分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明等積式成立的基本方法是轉(zhuǎn)化為比例式，然后轉(zhuǎn)化為證明三角形相似．