Question

如圖1，有兩全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分別為△ABC，△DEF的重心．固定D點，將△DEF逆時針旋轉，使得A落在

DE

上，如圖2所示．求圖1與圖2中，兩個三角形重迭區域的面積比為何（　　）

• A、2：1
• B、3：2
• C、4：3
• D、5：4

Answer 1

分析：設三角形的邊長是x，則（1）中陰影部分是一個內角是60°的菱形，圖（2）是個角是30°的直角三角形，分別求得兩個圖形的面積，即可求解．

解答：解：設三角形的邊長是x，則高長是

3

2

x．
圖（1）中，陰影部分是一個內角是60°的菱形，AD=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
另一條對角線長是：MN=2OM=2×

1

2

OM•tan30°=2×

1

2

×

3

3

x•tan30°=

1

3

x．
則陰影部分的面積是：

1

2

×

1

3

x•

3

3

x=

3

18

x²；
圖（2）中，AD=AD=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
是一個角是30°的直角三角形．
則陰影部分的面積=

1

2

AD•sin30°•AD•cos30°=

1

2

×

3

3

x•×

1

2

×

3

3

x•

3

2

=

3

24

x²．
兩個三角形重迭區域的面積比為：

3

18

x²：

3

24

x²=4：3．
故選C．

點評：本題主要考查了三角形的重心的性質，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面積的計算，正確計算兩個圖形的面積是解決本題的關鍵．