Question

【再讀教材】
寬與長的比是

5 -1

2

或

2

5 +1

（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．
下面，我們用寬為4cm的矩形紙片折疊一個黃金矩形．
第一步，在矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把它折到圖③中所示的AD處．
第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，如圖④…
【問題解決】
（1）圖③中AB=

2

5

cm（保留根號）；
（2）你發現圖④中有幾個黃金矩形？請都寫出來，并選擇其中一個說明理由；
（3）在圖③中，連接BD，以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，求該直角三角形斜邊的長．

Answer 1

分析：（1）連接AB，由折疊的性質，可得AC=2，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長度．
（2）首先求出CD=2

5

-2，ND=2

5

+2，再由黃金矩形的定義即可作出判斷．
（3）過點Q作QH⊥ND于點H，由tan∠QDH=tan∠ABM，可求出DH的長度，繼而得出AH的長度，在Rt△AHQ中利用勾股定理求出AQ，繼而可利用勾股定理可求出該直角三角形斜邊的長．

解答：解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，
∴NC=MN=4cm，
由折疊的性質得：AC=

1

2

NC=2cm，
連接AB，如圖②：

在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

22+42

=2

5

；

（2）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
∵AD=2

5

，AN=AC=2，
∴CD=2

5

-2，ND=2

5

+2，
∴

CD

BC

=

2 5 -2

4

=

5 -1

2

，
故矩形BCDE是黃金矩形；
∴

MN

ND

=

4

2 5 +2

=

2

5 +1

，
故矩形MNDE是黃金矩形．

（3）過點Q作QH⊥ND于點H，如圖③所示：

由折疊的性質可得：∠ADQ=∠ABQ，
∴∠QDH=∠ABM，
∴tan∠QDH=tan∠ABM=

4

2

=

QH

DH

=

4

DH

，
∴DH=2，
∴AH=AD+DH=2

5

+2，
在Rt△AQH中，AQ²=AH²+QH²=（2

5

+2）²+16=40+8

5

，
BD²=CD²+BC²=（2

5

-2）²+16=40-8

5

，
以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，則該直角三角形斜邊長=

AQ2+BD2

=

80

=4

5

．

點評：本題考查了幾何變換的綜合，涉及了折疊的性質、勾股定理、銳角三角函數的定義，綜合考察的知識點較多，解答本題需要我們具有扎實的基本功，數形結合，靈活解答．