Question

已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=

1

2

x²上的三點，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁A₃于點C．
（1）如圖，若A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖，若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=

1

2

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=

1

2

x²改為拋物線y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，請猜想線段CA₂的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）A₁、A₂、A₃是拋物線y=

1

2

x²上的三點，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，代入函數解析式就可以求出三個點的坐標，再根據待定系數法就可以求出直線A₁A₃的解析式．求出直線B₂A₂與A₁A₃的交點坐標，進而求出A₂C的長．
（2）設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1，可以采用與第一問相同的方法解決．

解答：解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×2²=2，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

（1分）
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴

1 2 =k+b 9 2 =3k+b

解得

k=2 b=- 3 2

∴直線A₁A₃的解析式為y=2x-

3

2

，
∴CB₂=2×2-

3

2

=

5

2

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．（3分）
方法二：∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×2²=2，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

（1分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

1

2

（

1

2

+

9

2

）=

5

2

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．（3分）

（2）方法一：設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1，
則A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴

(n-1)k+b= 1 2 (n-1)2-(n-1)+1 (n+1)k+b= 1 2 (n+1)2-(n+1)+1

（5分）
解得

k=n-1 b=- 1 2 n2+ 3 2

，（6分）
∴直線A₁A₃的解析式為y=（n-1）x-

1

2

n²+

3

2

．（7分）
∴CB₂=n（n-1）-

1

2

n²+

3

2

=

1

2

n²-n+

3

2

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-

1

2

n²+n-1=

1

2

（9分）
方法二：設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1．
則A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）（6分）
=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]（7分）
=

1

2

n²-n+

3

2

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．（9分）

（3）當a＞0時，CA₂=a；
當a＜0時，CA₂=-a．（12分）

點評：本題主要考查了函數圖象上的點與解析式的關系，點在圖象上，就一定滿足函數的解析式．