Question

設m為整數，且關于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數根，則m的值為 ______．

Answer 1

∵關于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數根，
∴△=4（m-5）²-4m（m-4）≥0，
∴m≤

25

6

，
∵-

2(m-5)

m

與

m-4

m

為整數，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程為-10x-4=0，x=

2

5

根不是整數；
（2）m≠0時，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）²-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤

25

6

，
方程的根為x=

-2(m-5)± 4(m-5)2-4m(m-4)

2m

=

5-m± 25-6m

m

∵方程有整根，
∴25-6m一定是個平方數，而且滿足m≤

25

6

，
∴設25-6m=k²（k＞0且k為整數），則m=

25-k2

6

=

(5-k)(5+k)

6

∴方程根為

5

m

-1±

k

m

=

5±k

m

-1，
將m=

25-k2

6

代入得，

6(5±k)

(5-k)(5+k)

-1，
∴方程兩個根可以寫成x₁=

6

5-k

-1，x₂=

6

5+k

-1，
若x₁是整數，
∴只有當k=2，3，4，6，7，8，11時，

6

5-k

為整數．其對應的m分別為

21

6

，

16

6

，

6

9

，-4，

39

6

，-16，
若x₂是整數，則只有當k=1時，

6

5+k

為整數，
對應的m=4．其中m是整數的只有m=-4，4，-16．
∴m的值為-4，4，-16．