Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發，沿x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動t秒(t＞0)，拋物線y＝x²＋bx＋c經過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代數式表示)：

(2)當4＜t＜5時，設拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．

①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面積S與t的函數關系式，并求t為何值時，S＝；

(3)在矩形ABCD的內部(不含邊界)，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”．若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由拋物線y＝x2＋bx＋c經過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b； 　　(2)①當x＝1時，y＝1－t，求得M的坐標，則可求得∠AMP的度數， 　　②由S＝S四邊形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得關于t的二次函數，列方程即可求得t的值； 　　(3)根據圖形，即可直接求得答案． 　　解答：解：(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0， 　　再把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0， 　　∵t＞0， 　　∴b＝－t； 　　(2)①不變． 　　如題干圖，當x＝1時，y＝1－t，故M(1，1－t)， 　　∵tan∠AMP＝1， 　　∴∠AMP＝45°； 　　②S＝S四邊形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM＝(t－4)(4t－16)＋[(4t－16)＋(t－1)]×3－(t－1)(t－1)＝t2－t＋6． 　　解t2－t＋6＝， 　　得：t1＝，t2＝， 　　∵4＜t＜5， 　　∴t1＝舍去， 　　∴t＝． 　　(3)＜t＜． 　　點評：此題考查了二次函數與點的關系，以及三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．

提示：

二次函數綜合題．