Question

（1999•黃岡）某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多利潤，商店決定提高銷售價格．經試驗發現，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件；若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件．假定每月銷售件數y（件）是價格x（元/件）的一次函數．
（1）試求y與x之間的關系式；
（2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少（總利潤=總收入-總成本）？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題意設y=kx+b，分別把對應的x=20，y=360；x=25，y=210代入利用待定系數法求解即可；
（2）根據“總利潤=總收入-總成本”列出關于每月獲得利潤P與x之間的函數關系式，整理得出二次函數P=-30（x-24）²+1920，求其最大值即可．
解答：解：（1）依題意設y=kx+b，則有

解得k=-30，b=960
∴y=-30x+960（16≤x≤32）（4分）

（2）每月獲得利潤P=（-30x+960）（x-16）
=30（-x+32）（x-16）（5分）
=30（-x^2₊48x-512）
=-30（x-24）²+1920（7分）
∴在16≤x≤32范圍內，當x=24時，P有最大值，最大值為1920．（8分）
答：當價格為24元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為1920元．（9分）
點評：主要考查了根據實際問題列函數關系式的能力．讀懂題意準確地列出式子是解題的關鍵，要熟練地運用待定系數法求函數關系式，并會利用二次函數的最值問題求實際問題的最大利潤．