Question

如圖，已知直線y=-kx+4k（k＞0）與x軸y軸分別交于A、B兩點，以OA為直徑作半圓，圓心為C，過A作x軸的垂線AT，M是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P．連接CN、CM．
（1）若∠OCM=30°，求P的坐標；
（2）設OM=x，AN=y，求y與x的函數關系式；
（3）若OM=1，求當k為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

Answer 1

解：（1）過P點作PE⊥y軸，垂足為E，
∵直線ABy=-kx+4k，∴A（4，0），B（0，4k），
∴OA=4，OC=2，
在Rt△OMC中，∠OCM=30°∴OM=OC•tan30°=，
由切線長定理可知PM=OM=，
且∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，∴∠PME=60°，
在Rt△PME中，PE=PM•sin60°=1，EM=PM•cos60°=，
∴OE=OM+ME=+=，即P（1，）；

（2）過M點作MD⊥AN，垂足為D，
∵MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN=x+y，DN=AN-AD=AN-OM=y-x，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，即4²+（y-x）²=（x+y）²，
整理，得y=；

（3）∵OM=x=1，
∴AN=4，
則M（0，1），N（4，4），
設直線MN的解析式y=ax+b，則
，
解得，
∴直線AB：y=x+1，
聯立，
解得x=，即為F點的橫坐標，
∴S_△AFN=×4×（4-）=，
依題意，得S_△AFN=S_梯形OMNA，即=××4×（1+4），
解得k=，
∴當k=時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．
分析：（1）過P點作PE⊥y軸，垂足為E，由直線AB：y=-kx+4k求A、B兩點坐標，得A（4，0），B（0，4k），即直徑OA=4，則半徑OC=2，在Rt△OMC中，由∠OCM=30°求OM，由切線長定理可知PM=OM，而∠PMC=∠OMC=90°-30°=60°，則∠PME=60°，解直角三角形求PE，EM即可；
（2）過M點作MD⊥AN，垂足為D，則MD=OA=4，MN=PM+PN=OM+AN，在Rt△MDN中，由勾股定理求y與x的函數關系式；
（3）由OM=1，利用（2）的函數關系式求AN，再求直線MN的解析式，將直線AB，直線MN的解析式聯立求F點的坐標，表示△AFN的面積，由S_△AFM=S_梯形OMNA，列方程求k的值．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是明確一次函數點的坐標的求法和三角形、梯形面積的求法．