Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣2x﹣3經過x軸上的A，B兩點，與y軸交于點C，線段BC與拋物線的對稱軸相交于點D，點E為y軸上的一個動點．

（1）求直線BC的函數解析式，并求出點D的坐標；

（2）設點E的縱坐標為為m，在點E的運動過程中，當△BDE中為鈍角三角形時，求m的取值范圍；

（3）如圖2，連結DE，將射線DE繞點D順時針方向旋轉90°，與拋物線交點為G，連結EG，DG得到Rt△GED．在點E的運動過程中，是否存在這樣的Rt△GED，使得兩直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） y=x﹣3，D點坐標為（1，﹣2）；（2） m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；（3）存在． G點坐標為（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先根據拋物線與x軸的交點問題求出A（﹣1，0），B（3，0），利用對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=1，再求出C（0，﹣3），然后利用待定系數法求直線BC的解析式；當x=1時，y=x﹣3=﹣2，則D點坐標為（1，﹣2）；

（2）如圖1，先判斷△OBC為等腰直角三角形，則∠OCB=∠OBC=45°，再計算出CD，然后通過求出△BDE為直角三角形時m的值來確定△BDE為鈍角三角形時m的取值范圍；

（3）分類討論：①當點G在對稱軸右側的拋物線上時，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，設G（t，t2﹣2t﹣3），則GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1，由旋轉的性質得∠EDG=90°，接著證明Rt△EDF∽Rt△DGH，利用相似的性質得，分2和，列方程求出t的值，進而求出G的坐標；②當點G在對稱軸左側的拋物線上時，用同樣的方法可得G點坐標．

（1）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），所以拋物線的對稱軸為直線x=1，當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，則C（0，﹣3）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直線BC的解析式為y=x﹣3；

當x=1時，y=x﹣3=1﹣3=－2，則D點坐標為（1，﹣2）；

（2）如圖1．

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°．

∵D（1，﹣2），∴CD，當∠EDB=90°時，則△CDE為等腰直角三角形，∴CECD2，∴OE=3﹣2=1，此時E（0，﹣1），∴當m＜﹣1且m≠﹣3時，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；

當∠EBD=90°時，則△OBE為等腰直角三角形，∴OE=OB=3，此時E（0，3），∴當m＞3時，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；

∴m的取值范圍為m＞3或m＜﹣1且m≠﹣3；

（3）存在．

①當點G在對稱軸右側的拋物線上時，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，設G（t，t2﹣2t﹣3），則GH=t2﹣2t﹣3﹣（﹣2）=t2﹣2t﹣1．

∵射線DE繞點D順時針方向旋轉90°，與拋物線交點為G，∴∠EDG=90°，∴∠EDF+∠GDH=90°，而∠EDF+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠GDH，∴Rt△EDF∽Rt△DGH，∴，分兩種情況討論：

i）若2，則2，即t2﹣2t﹣1，解得：t1=1（舍去），t2=1，此時G點坐標為（1）；

ii）若，則，即t2﹣2t﹣1=2，解得：t1=﹣1（舍去），t2=3，此時G點坐標為（3，0）；

②當點G在對稱軸左側的拋物線上時，用同樣的方法可得G點坐標為（1）或（﹣1，0）．

綜上所述：G點坐標為（1）或（3，0）或（1）或（﹣1，0）．