Question

如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE，CG．
（1）求證：AE=CG；
（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：可以把結論涉及的線段放到△ADE和△CDG中，考慮證明全等的條件，又有兩個正方形，∴AD=CD，DE=DG，它們的夾角都是∠ADG加上直角，故夾角相等，可以證明全等；再利用互余關系可以證明AE⊥CG．
解答：（1）證明：如圖，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS）．
∴AE=CG．

（2）猜想：AE⊥CG．
證明：如圖，設AE與CG交點為M，AD與CG交點為N．
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG．
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN．
∴∠AMN=∠ADC=90°．
∴AE⊥CG．
點評：本題可圍繞結論尋找全等三角形，根據正方形的性質找全等的條件，運用全等三角形的性質判定線段相等，垂直關系．