Question

某公司生產(chǎn)的一種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)20天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來(lái)20天內(nèi)每天的價(jià)格y（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y =

1

4

t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)）．下面我們就來(lái)研究銷售這種商品的有關(guān)問(wèn)題：
（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）設(shè)未來(lái)20天日銷售利潤(rùn)為p （元），請(qǐng)寫出p （元） 與t（天）之間的關(guān)系式；并預(yù)測(cè)未來(lái)20天中哪一天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）若該公司預(yù)計(jì)日銷售利潤(rùn)不低于560元，請(qǐng)借助（2）小題中的函數(shù)圖象確定時(shí)間的取值范圍，持續(xù)了多少天？
（4）在實(shí)際銷售的20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)a元利潤(rùn)（a＜5）給希望工程．公司通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，代入一次函數(shù)m=kt+b中，得出k與b的值，即可求出函數(shù)得解析式．
（2）本題需先設(shè)未來(lái)20天的日銷售利潤(rùn)為p元，根據(jù)題意列出式子，得出當(dāng)t等于多少的時(shí)候，p有最大值，即可求出最大日銷售利潤(rùn)．
（3）本題需先根據(jù)（2）中的函數(shù)圖象確定時(shí)間的取值范圍，即可求出t₁和t₂的值，即可求出持續(xù)的天數(shù)．
（4）本題需先p的式子，找出t的對(duì)稱軸，再根據(jù)t的取值范圍，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）將

t=1 m=94

和

t=3 m=90

代入一次函數(shù)m=kt+b中，
有

94=k+b 90=3k+b

．
∴

k=-2 b=96

∴m=-2t+96
經(jīng)檢驗(yàn)，其它點(diǎn)的坐標(biāo)均適合以上解析式．
故所求函數(shù)解析式為m=-2t+96
（2）設(shè)未來(lái)20天的日銷售利潤(rùn)為p元．
由p=(-2t+96)(

1

4

t+25-20)=-

1

2

t2+14t+480=-

1

2

(t-14)2+578
∵1≤t≤20，
∴當(dāng)t=14時(shí)，p有最大值578（元）
∴最大日銷售利潤(rùn)是578元；
（3）令p=560，
解得：t₁=8，t₂=20；
∴持續(xù)的天數(shù)是：20-8=12；
（4）p=(-2t+96)(

1

4

t+25-20-a)=-

1

2

t2+(14+2a)t+480-96a
對(duì)稱軸為t=

-(14+2a)

2×(- 1 2 )

=14+2a．
∵1≤t≤20，a=-

1

2

＜0，
∴t的取值范圍在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)p隨t的增大而增大，
∴當(dāng)14+2a≥20即a≥3時(shí)，p隨t的增大而增大．
又∵a＜5，
∴3≤a＜5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)，在解題時(shí)要注意二次函數(shù)的知識(shí)的綜合應(yīng)用和解題方法是本題的關(guān)鍵，是一道常考題．