Question

已知：如圖（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，點D、E分別在BC、AC邊上，且CD=CE，連接AD、BE，點O、M、N分別是AB、AD、BE的中點．易證：△OMN是等腰直角三角形．

（1）將圖（1）中△CDE繞著點C順時針旋轉90°如圖（2），連接AE、BD，O、M、N仍為AB、AD、BE中點，則△OMN是等腰直角三角形的結論是否發生變化？并說明理由．
（2）若△CDE繞著點C順時針繼續旋轉至圖（3）所示位置時，O、M、N仍為AB、AD、BE中點，試問△OMN是等腰直角三角形的結論是否成立？（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，然后利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=AE，全等三角形對應角相等可得∠CBD=∠CAE，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OM∥BD且OM=BD，ON∥AE且ON=AE，然后求出OM=ON，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，然后求出∠MON=90°，根據等腰直角三角形的定義即可得解；
（2）連接BD、AE，求解方法同（1）．
解答：解：（1）△OMN是等腰直角三角形．
理由如下：如圖，連接BD，
∵△CDE順時針旋轉90°，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，
∵O、M、N分別為AB、AD、BE中點，
∴OM∥BD且OM=BD，ON∥AE且ON=AE，
∴OM=ON，∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，
∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠MON=180°-90°=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；

（2）△OMN是等腰直角三角形的結論仍成立．
如圖，連接BD、AE，證明方法與（1）相同．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定，熟記旋轉的性質，作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點，此類題目通常都是利用同一思路求解．