Question

如圖，已知A，B兩點坐標分別為（28，0）和（0，28），動點P從A開始在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動．動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E，F，連接FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．
（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積；
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）當梯形OPFE的面積等于△APF的面積時，求線段PF的長．

Answer 1

分析：因為直線EF是動的，則坐標也是動的，可以把當t時刻時P，E，F三點的坐標用t表示出來，同樣也可以把梯形OPFE的面積用t表示出來，轉化為求函數最值問題，就解決問題了．

解答：解：（1）由題意，當t=1s時，P點坐標為（25，0），E（0，1），
根據A，B坐標已知可求出直線AB的方程l：x+y=28，
由圖形可知點F與點E的縱坐標都為1，把y=1代入x+y=28中，
解得x=27，
所以F（27，1），
梯形OPFE的面積S=

1

2

（EF+OP）×OE=26，
∴當t=1時，梯形面積是26；

（2）設t=t₀時，由圖可知P（28-3t₀，0），E（0，t₀），F（28-t₀，t），則
梯形OPFE的面積s=

1

2

×（EF+OP）×OE=

1

2

×（28-t₀+28-3t₀）×t₀=-2（t₀-7）²+98，
當t₀=7時s有最大值，則最大值為98，
當t=7時，梯形OPFE的面積最大，最大為98；

（3）由題梯形OPFE的面積等于△APF的面積，則有
S_△APF=

1

2

×AP×h=

1

2

×（3t）×t，
由（2）知道梯形OPFE的面積的表達式，
可得：-2（t-7）²+98=

1

2

×（3t）×t，
即t=8，t=0（舍），
此時P（4，0），F（20，8），
∴PF=8

5

．

點評：此題主要考查二次函數的解析式，最值問題，以及坐標的變換．