Question

如圖，已知二次函數的圖象過x軸上點A(，0)和點B，且與y軸交于點C．

(1)求此二次函數的解析式；

(2)若點P是直線AC上一動點，當∠OPB＝90°時，求點P坐標．

(3)若點P在過點C的直線y＝kx＋b上移動，只存在一個點P使∠OPB＝90°，求此時這條過點C的直線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將A(，0)代入， 　　即，得： 　　∴二次函數的解析式為 　　(2)已知拋物線解析式為， 　　令y＝0，解得x1＝，x2＝ 4 　　令x＝0，解得y＝1 　　∴A、B、C三點坐標為A(，0)、B(4，0)、C(0，1) 　　設直線AC的解析式為y＝kx＋b，把C點、A點坐標代入， 　　求出直線AC解析式為：， 　　設P(x，－2x＋1)，連結OP、PB，過P點作PF⊥OA于F， 　　∵∠OPB＝90°， 　　∴△OPF∽△PBF 　　∴ 　　即PF2＝OF·FB 　　∴ 　　解得：， 　　∴＝ 　　∴點P坐標為：P(，)或P(，) 　　(3)①以OB為直徑作⊙G，當過C點的直線切圓G于點P時，直線與x軸交于點H，只存在一個點P使∠OPB＝90°． 　　把C點坐標代入直線得，b＝1， 　　∵HP是圓O切線，∠COH＝∠HPG＝90°，又∵∠OHC＝∠PHG 　　∴△HOC∽△HPG 　　由HO∶HP＝OC∶PG，設HO＝a，由PG＝2，OC＝1， 　　得HP＝2a 　　在Rt△HPG中，由得 　　解得(不合題意，舍去)， 　　∵與x軸交點的橫坐標為， 　　∴　得 　　∴所求直線的解析式為： 　　②當過C點的直線過B點時，只存在一個點P使∠OPB＝90° 　　∴所求直線BC的解析式為： 　　∴綜上所述，所求直線的解析式為：或