Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，△ABD和△AFD關于直線AD對稱，∠FAC的平分線交BC于點G，連接FG．
（1）求∠DFG的度數；
（2）設∠BAD=θ，
①當θ為何值時，△DFG為等腰三角形；
②△DFG有可能是直角三角形嗎？若有，請求出相應的θ值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由軸對稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；
（2）①當GD=GF時，就可以得出∠GDF═80°，根據∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出結論；當DF=GF時，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，當DF=DG時，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，從而求出結論；
②有條件可以得出∠DFG=80°，當∠GDF=90°時，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出結論，當∠DGF=90°時，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出結論．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD關于直線AD對稱，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，

AF=AC ∠FAG=∠CAG AG=AG

，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
答：∠DFG的度數為80°；

（2）①當GD=GF時，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
當DF=GF時，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
當DF=DG時，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴當θ=10°，25°或40°時，△DFG為等腰三角形；
②當∠GDF=90°時，
∵∠DFG=80°，
∴40°+90°+40°+2θ=180°，
∴θ=5°．
當∠DGF=90°時，
∵∠DFG=80°，
∴∠GDF=10°，
∴40°+10°+40°+2θ=180°，
∴θ=45°
∴當θ=5°或45°時，△DFG為直角三角形．

點評：本題考查了軸對稱的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，直角三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形的全等是關鍵．