Question

如圖，四邊形ABCD是矩形紙片．
（1）把矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使AB邊落在矩形ABCD內部，點B落在CD邊的點E處，折痕為AF，在圖中用尺規作出折疊后的圖形；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）
（2）若點E為DC的中點，且CD=6，求折痕AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）折疊實際上是作軸對稱圖形，故根據對稱性先求得B在DC上的位置，在作∠BAE的平分線，交BC于F，連接AF、EF；即得△AEF；（2）根據折疊的性質，可得AE=AB=CD=6，E是CD的中點，進而可得∠BAF=∠EAF=30°；在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²；代入數值，解可得AF=4．
解答：解：（1）第一步以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交DC邊于點E，連接AE．
第二步作∠BAE的平分線，交BC于F，連接AF、EF，
則△AEF就是求作的圖形；（5分）

（2）由矩形的性質和作圖可知AE=AB=CD=6，E是CD的中點，
∴CE=ED=3，∴sin∠DAE=，∴∠DAE=30°，∴∠BAF=∠EAF=30°，
在Rt△ABF中，AF=2BF，由勾股定理，得AF²=AB²+BF²，
∴（2BF）²=BF²+36，解得BF=±2，
因為BF是線段長，
∴BF=2，
∴AF=4．（10分）
點評：本題通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應結合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系．