Question

在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：如解答圖所示，構造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與y軸的交點即為所求的點C．
注意點C有兩個．
解答：解：設線段BA的中點為E，
∵點A（4，0）、B（-6，0），∴AB=10，E（-1，0）．
（1）如答圖1所示，過點E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，則易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；
以點P為圓心，PA（或PB）長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點C，
∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，即則點C即為所求．
過點P作PF⊥y軸于點F，則OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴點C坐標為（0，12）；
（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負半軸上的點C坐標為（0，-12）．
綜上所述，點C坐標為（0，12）或（0，-12）．
故答案為：（0，12）或（0，-12）．
點評：本題難度較大．由45°的圓周角聯想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點所在．