Question

（2010•雙鴨山）如圖，在平面直角坐標系中，函數y=2x+12的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點過點A的直線交y軸正半軸與點M，且點M為線段OB的中點．
（1）求直線AM的函數解析式．
（2）試在直線AM上找一點P，使得S_△ABP=S_△AOB，請直接寫出點P的坐標．
（3）若點H為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點H，使以A，B，M，H為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過函數y=2x+12求出A、M兩點坐標，由兩點坐標求出直線AM的函數解析式；
（2）設出P點坐標，按照等量關系“×|AP|×B到直線AM的距離=S_△AOB”即可求出；
（3）判斷能否構成等腰梯形，主要看兩腰能否等腰，本題應分別把AB、AM、BM看作底來判斷．
解答：解：（1）∵直線AB的函數解析式y=2x+12，
∴A（-6，0），B（0，12）．
又∵M為線段OB的中點，
∴M（0，6）．
∴直線AM的解析式y=x+6；

（2）設P點坐標（x，x+6），則|AP|=|x+6|，B到直線AM的距離d=，
∴，
解得：x=6或-18．
∴P（6，12）或P（-18，-12）；

（3）存在這樣的點H，使以A，B，M，H為頂點的四邊形是等腰梯形．
若以AM為底，BM為腰，過點B作AM的平行線，當點H的坐標為（-12，0）時，以A，B，M，H為頂點的四邊形是等腰梯形；
若以BM為底，AM為腰，過點A作BM的平行線，當點H的坐標為（-6，18）時，以A，B，M，H為頂點的四邊形是等腰梯形；
若以AB為底，BM為腰，過點M作AB的平行線，當點H的坐標為（-，）時，以A，B，M，H為頂點的四邊形是等腰梯形．
故所求點H的坐標為（-12，0）或（-6，18）或（-，）．
點評：本題為一次函數綜合類的題，需掌握由函數圖象求點的坐標，能夠計算點到直線的距離．