Question

（2002•上海）已知：二次函數y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m為實數．
（1）求證：不論m取何實數，這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設這個二次函數的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒數和為，求這個二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：判斷二次函數y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3與x軸的交點情況，需要把問題轉化為求方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的判別式的符號．而已知二次函數的圖象與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），相當于已知此方程兩根為x₁，x₂．可運用根與系數的關系解題，所求m的值不受限制，結果有兩個．
解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-2m-3）=4m²-8m+4-4m²+8m+12=16＞0，
∴不論m取何實數，這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²-2m-3，
=，
即=，=，
解得m=0或5，
二次函數解析式為：y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．
點評：主要考查了二次函數圖象的性質與一元二次方程根的情況之間的關系，以及根與系數的關系的運用．