Question

你能化簡（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）嗎？我們不妨先從簡單情況入手，發現規律，歸納結論．
（1）先填空：（a-1）（a+1）=

a²-1

；（a-1）（a²+a+1）=

a³-1

；
（a-1）（a³+a²+a+1）=

a⁴-1

；…
由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=

a¹⁰⁰-1

．
（2）利用這個結論，你能解決下面兩個問題嗎？
①2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1；
②若a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0，則a⁶等于多少？

Answer 1

分析：（1）利用多項式乘以多項式法則及平方差公式化簡即可得到結果；
（2）歸納總結得到一般性規律，即可求出所求式子的結果；
（3）①利用得出的結論計算即可得到結果；②利用得出的結論計算即可得到結果．

解答：解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；…由此猜想（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1；
（2）①根據得出的結論得：2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1=（2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1）（2-1）=2²⁰⁰-1；
 ②根據題意得：（a-1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=a⁶-1，
將a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0代入得：a⁶=1．
故答案為：（1）a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1

點評：此題考查了整式的混合運算，弄清規律是解本題的關鍵．