Question

如圖所示，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F，且AE=BF，請用三種不同的方法證明：OE=OF．

Answer 1

分析：證法一：連接OA、OB，證明三角形全等即可；
證法二：過O作AB的弦心距，利用垂徑定理證明即可；
證法三：延長CO、DO與圓交于G、H，利用相交弦定理．

解答：解：法一：
連接OA、OB，如圖示，
∵OA=OB，
∴∠OAE=∠OBF，
又AE=BF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE=OF；

法二：
作OM⊥AB于M，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，∠EMO=∠FMO=90°，
∵AE=BF，
∴EM=FM，
又OM=OM，
∴△OEM≌△OFM，
∴OE=OF；

法三：
延長CO、DO與圓交于G、H，
由相交弦定理知，
AE•BE=CE•EG，
BF•AF=DF•HF，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
∴CE=DF，
∴OE=OF．

點評：本題綜合考查了垂徑定理、相交弦定理以及全等三角形的判定，熟記定理并靈活應用定理是解題的關鍵．