Question

如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如圖1，AH⊥BC于點H，則AH=______，AC=______，△ABC的面積S_△ABC=______；
拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BD=x，AE=m，CF=n（當點D與點A重合時，我們認為S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代數式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）與x的函數關系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的求值范圍．
發現：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=，可得AH=12，BH=5，則CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根據三角形的面積公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面積公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=，n=，再根據S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）與x的函數關系式，然后由點D在AC上（可與點A，C重合），可知x的最小值為AC邊上的高，最大值為BC的長；
（3）由于BC＞BA，所以當以B為圓心，以大于且小于13為半徑畫圓時，與AC有兩個交點，不符合題意，故根據點D的唯一性，分兩種情況：①當BD為△ABC的邊AC上的高時，D點符合題意；②當AB＜BD≤BC時，D點符合題意；
發現：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線．
解答：解：探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=BC•AH=×14×12=84．
故答案為12，15，84；

拓展  （1）由三角形的面積公式，得S_△ABD=BD•AE=xm，S_△CBD=BD•CF=xn；
（2）由（1）得m=，n=，
∴m+n=+=，
∵AC邊上的高為==，
∴x的取值范圍是≤x≤14．
∵（m+n）隨x的增大而減小，
∴當x=時，（m+n）的最大值為15；
當x=14時，（m+n）的最小值為12；
（3）x的求值范圍是x=或13＜x≤14．
發現：∵AC＞BC＞AB，
∴過A、B、C三點到這條直線的距離之和最小的直線就是AC所在的直線，AC邊上的高的長為．
點評：本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，反比例函數的性質等知識，綜合性較強，有一定難度．